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layout: single title: “1부터 n까지 자연수의 합과 삼각수 - soo:bak” date: “2025-05-16 21:38:00 +0900” description: 1부터 n까지의 합 공식이 어떻게 유도되는지, 삼각수와 어떤 관계가 있는지 직관적으로 탐구하는 글 ——————————————————————-
1부터 n까지의 합을 구하는 가장 자연스러운 질문
1부터 100까지 더하면 얼마일까?
이 질문은 어린 시절 수학에서 처음 만나는 패턴에 대한 경험이자, 수학적으로 사고하는 첫걸음이라 할 수 있습니다.
수학자 가우스가 어린 시절 교실에서 단숨에 이 질문을 풀어냈다는 일화는 유명합니다.
단순히 1씩 더해가며 계산하지 않고 수열의 규칙을 활용해 빠르게 구한 것이 그의 풀이법에 대한 핵심입니다.
이제 이 과정을 단계적으로 살펴보며 1부터 n까지의 자연수의 합을 어떻게 이해하고 표현할 수 있는지 살펴보겠습니다.
순서대로 나열해보기
먼저, 1부터 10까지의 합을 구해본다면 다음과 같습니다:
하나하나 더해보면:
- 1 + 2 = 3
- 3 + 3 = 6
- 6 + 4 = 10
- 10 + 5 = 15
- 15 + 6 = 21
- …
- 최종적으로 55가 됩니다.
물론 이런 방식으로 합을 구할 수도 있지만, 여기서 중요한 건 덧셈 과정에서 반복되는 구조를 발견하는 것입니다.
거꾸로 더해보기 - 두 줄로 쓰기
가우스가 사용한 방식처럼, 수열을 거꾸로 한 줄 더 써봅니다:
각 열을 더하면 모두 11이 되며, 총 10쌍이 있으므로 전체 합은:
하지만 원래 한 줄의 합을 구하려고 했으니, 위 결과를 2로 나누면 됩니다:
이 방식은 n이 어떤 수든 활용이 가능합니다.
일반화된 공식
위 과정을 통해 얻은 공식은 다음과 같습니다:
\[\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\]
이 공식은 단순히 암기하는 것이 아니라, 수열을 대칭적으로 정렬하여 합을 계산하는 사고에서 출발한 것임을 알 수 있습니다.
이러한 접근은 계산을 빠르게 할 뿐 아니라, 수학적 구조를 파악하는 훈련으로 이어집니다.
이 합은 왜 삼각수(Triangular Number)일까?
이제 이 합을 삼각수와 연결해봅시다.
직관적으로 이해하기
삼각수는 점을 정삼각형 모양으로 배치했을 때 생기는 점의 개수를 의미합니다.
예를 들어:
- 1번째 삼각수:
1
•
- 2번째 삼각수:
1
2
•
• •
- 3번째 삼각수:
1
2
3
•
• •
• • •
- 4번째 삼각수:
1
2
3
4
•
• •
• • •
• • • •
각 층마다 점이 하나씩 더해지기 때문에, n번째 삼각수는 1 + 2 + 3 + … + n과 정확히 같습니다.
즉, 삼각수 = 1부터 n까지 자연수의 합입니다.
시각화로 이해하기
n이 5일 때 삼각수 구조는 다음과 같이 도식화할 수 있습니다:
1
2
3
4
5
•
• •
• • •
• • • •
• • • • •
- 총 점의 개수는:
1+2+3+4+5=15 - 공식으로도 확인: $\frac{5 \times 6}{2} = 15$
즉, 삼각형을 구성하는 점의 총합이 바로 $1 + 2 + \dots + n$의 합이며,
이는 기하적으로도 자연스럽게 설명 가능한 수학 구조라는 점에서 매우 아름답습니다.
삼각수의 성질
- $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$
- $T_{n} - T_{n-1} = n$ → 삼각수는 한 계단 오를수록 자연수만큼 증가
- 짝수 번째 삼각수는 항상 정수
또한, 삼각수는 피라미드형 구조나 컴퓨터 과학에서의 반복 구조, 누적합 구조에서 매우 자주 등장하는 수열이기도 합니다.
예제: 1부터 100까지의 합 구하기
1
2
int sum = 100 * (100 + 1) / 2;
cout << sum; // 출력: 5050
이처럼 반복문 없이도 단 한 줄로 1부터 100까지의 합을 정확히 구할 수 있습니다.
마무리
1부터 n까지의 합은 단순한 덧셈의 결과를 넘어,
수학의 패턴, 수열, 기하적 구조까지 연결되는 흥미로운 개념입니다.
단순 암기보다 더 중요한 건 왜 그러한 구조가 나오는지를 이해하는 과정이며,
삼각수를 통해 우리는 그것을 직관적으로 받아들일 수 있습니다.
이 글에서는 합 공식의 유도 과정과 삼각수의 구조적 의미를 함께 살펴보며,
수열의 본질에 대한 이해를 넓히는 데 초점을 맞추었습니다.